Sifat Segi Empat Tali Busur

Blog Koma
– Keseleo satu penerapan trigonometri adalah lakukan menentukan
luas segi empat tali ibu panah
nan akan dibahas pada artikel boleh jadi ini. Untuk memudahkan intern mempelajarinya, sebaiknya kita baca dulu materi “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Rongga, Aturan Cosinus, Luas Segitiga”, “Perbandingan Trigonometri Ki perspektif-tesmak Berelasi”, dan “Rasio Trigonometri pada Segitiga sama kaki Kelokan-Siku”.

Rumus Luas Segi Catur Utas Ibu panah

Bangun segi empat kenur busur adalah sebuah bangun ki boyak yang memiliki catur sebelah dimana keempat sisinya ada lega sebuah halangan. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat untai busur adalah $ 180^\circ $ . Buat bertambah jelas, perhatikan segi empat kenur busur ABCD berikut.

Luas segi catur utas gandi ABCD yaitu :

$ \begin{align} L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $

dengan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $

Pembuktian Rumus luas segi empat rayon busurnya :

Misalkan tingkatan $ AB = a, \, BC = b, \, CD = c, \, AD = a $

*). Perhatikan sudut B dan D, jumlahnya $ 180^\circ $

$ B + D = 180^\circ \rightarrow D = 180^\circ – B $

Sehingga dengan sudut-tesmak berelasi diperoleh :

$ \cos D = \cos (180^\circ – B) \rightarrow \cos D = – \cos B $

$ \sin D = \sin (180^\circ – B) \rightarrow \sin D = \sin B $

*). Aturan cosinus untuk menentukan jenjang AC

Segitiga sama BAC, $ AC^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos B $

Segitiga DAC, $ AC^2 = c^2 + d^2 – 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 – 2cd (-\cos B) $

*). Pangkat AC sama dari kedua segitiga BAC dan DAC

$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 – 2ab \cos B & = c^2 + d^2 – 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 – 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $

*). Rang pemfaktoran : $ X^2 – Y^2 = (X+Y)(X-Y) $

*). Identitas trigonometri : $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $

Misalkan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $

$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 – \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 – \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 – \frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab – (c^2 + d^2 – 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd – (a^2 + b^2 – 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 – (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 – (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $

*). Menentukan luas segitiga sama :

$ \text{Luas BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $

$ \text{Luas DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $

*). Menentukan luas segi empat untai ibu panah ABCD :

$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $

Jadi, terbukti luas segi catur kenur busurnya.

Contoh :

Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan strata AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.

Tentukan luas segi empat ABCD tersebut?

Penuntasan :

Misalkan $ a = 1, \, b = 2, \, c = 3, \, d = 4 $

*). Menentukan nilai $ s $

$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{1+2+3+4}{2} = 5 $

*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :

$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $

Jadi, luas segi catur benang busurnya adalah $ 2 \sqrt{6} $ .

Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/11/luas-segi-empat-tali-busur.html

Posted by: caribes.net