Soal Dan Pembahasan Geometri Analitik

GEOMETRI ANALITIK RUANG

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN Ilmu hitung

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN Didaktik
Sekolah tinggi JEMBER TAHUN 2022

Dr. Susanto, MPd

ii

KATA PENGANTAR

Puji terima kasih dipanjatkan kehadirat Alloh SWT atas apa karunia, taufiq, dan hidayah-Nya yang mutakadim dilimpahkan, sehingga terselesaikannya buku pegangan ceramah bakal mata kuliah Geometri Analitik Ira. Ain Kuliah ini memuat materi tentang garis lurus, persamaan bola, luasan bagian, dan luasan berderajad dua. Seterusnya dabir menyadari bahwa buku ini masih belum acuan; bagi itu dimohon tanggapan baik faktual kritik dan saran kepada pembaca demi kebaikan buku pegangan lektur ini. Kesannya semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca.

Penyadur

Ki I
Tutul DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

1 Titik Dalam Ira Dimensi Tiga
Suka-suka beberapa cara menentukan letak suatu tutul dalam ruang dimensi tiga. Cara-cara tersebut didasarkan pada penetapan patokan mula nan digunakan. Dalam gubahan ini n domestik menentukan letak suatu tutul menggunakan sistem koordinat kartesius siku-siku. Tolok mula yang diambil dalam koordinat kartesius matra tiga merupakan tiga garis lurus nan ubah tegak harfiah nan dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Lamun letak garis-garis yang silih bersimbah literal ini boleh diambil sesuka lever kita, semata-mata diambil kesepakatan andai berikut: sumbu y diambil mendatar, jihat ke kanan merupakan arah nyata dan ke kiri merupakan arah negatif. Tali api y dan tunam z terletak pada kertas kita; sementara itu tunam x menggermang verbatim pada kertas dan melalui titik sembelih sumbu y dan sumbu z. Sumbu x yang merentang kita misal jihat positif dan arah lawannya laksana sebelah negatif. Pengaturan sistem sebagaimana ini dinamakan sistem tangan kanan. Hal ini karena jikalau empat jari tangan kanan dikepalkan sehingga membusar berpangkal tali api x positif ke arah sumbu y positif dan ibu jari akan mendatangi ke sumbu z maujud. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga parasan, yaitu bidang xy, parasan xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ulas menjadi okta- oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, …, VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV di atas bidang xy, dan lainnya di bawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berduyun-duyun tepat di bawah oktan-oktan I, II, III, dan IV. Letak suatu noktah ditentukan oleh jarak tutul itu ke meres-meres koordinat yz, xz, dan xy, serta dilihat apakah arah positif atau negatif. Maka dari itu karena itu satu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga kodrat, misalnya titik P(x, y, z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x tau
absis. Pasangan kedua, yakni y disebut koordinat y atau
ordinat
, dan pasangan ketiga disebut koordinat z maupun

aplikat. Titik-titik P(2, 3, 4) dan Q(4, -2, 3) berencetan terwalak dalam oktan I dan II. Titik O(0, 0, 0) disebut titik dasar. Setiap pada sumbu x, ordinat dan aplikatnya nol, sedang suatu tutul nan terletak pada meres xy, aplikatnya hampa. Lebih jauh bikin batik sebuah bintik, kita tidak perlu batik balok, tetapi patut dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, ordinat, dan aplikatnya. Sebagai contoh perhatikan koordinat Falak(3, 5, 4) sebagai berikut.

Setiap bintik yang aplikatnya positif terletak di atas satah xy dan jika aplikatnya destruktif terletak di bawah latar xy. Demikian pun untuk parasan-bidang yang lain (xz dan yz). Pola 1. Titik A(1, -2,-4) terletak di oktan VI Titik B(3, 4, -2) terletak di oktan V Titik C(-2, -3, -5) terdapat di oktan VII Titik D(-4, -1, 6) terletak di oktan III

Lembaga 1.

Y
Z
X

T(3,5,4)

AB

x
2 
x
1
BC

y
2 
y
1
DQ

z
2 
z
1 Segitiga Fonem siku-siku di B, maka
AC
2 
AB
2 
BC
2
AC
2 
x
2 
x
12 
y
2 
y
12
PD

AC
Segitiga PDQ pengkolan-lekukan di D, maka
PQ
2 
PD
2 
DQ
2
PQ
2 
x
2 
x
12 
y
2 
y
12 
z
2 
z
12
PQ

x
2 
x
12 
y
2 
y
12 
z
2 
z
12 Rumus diatas adalah rumus jarak antara P(
x
1 ,
y
1 ,
z
1 ) dan Q(
x
2 ,
y
2 ,
z
2 ). Contoh 1. Tentukan jarak antara bintik-titik P(1, -2, 3) dan Q(5, 5, 7)

Jawab:
PQ

x
2 
x
12 
y
2 
y
12 
z
2 
z
12

PQ
 5( )1 2  5(  )2 2  7(  )3 2

PQ
 16  49  16

PQ
 9

A

D

B C

Tulangtulangan 1.

Y
X

1 Vektor Kerumahtanggaan Pangsa Dimensi Tiga
Dalam ruang dimensi tiga suatu tutul dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat, dan aplikat. Misalnya bintik D(
x
1 ,
y
1 ,
z
1 ); vektor posisi terhadap

titik O dari D ini merupakan
d

x
1 ,
y
1 ,
z
1 = 1
ix
 1
jy
 1
kz.

Vektor-vektor basis ,,
kji
berturut-turut yakni vektor-vektor satuan yang sependapat

dengan tunam-sumbu x aktual, y konkret, dan z positif. Lebih lanjut semua definisi dan teorema vektor plong latar seperti definisi dan teorema vektor n domestik ruang. Dalam bahasan ini hanya diberikan contoh-contoh untuk vektor kerumahtanggaan ruang. Komplet 1. Jika
a
 4,2,3  dan
b
 5,1,2  , maka (1) 2a+ 3b = 2 4,2,3  = 3 5,1,2  = 7,7,0  (2) 5a – 2b =  30,8,19 

Kerjakan rumus perbandingan dolan bahwa jika
a

x
1 ,
y
1 ,
z
1 merupakan vektor

posisi titik A, dan
b

x
2 ,
y
2 ,
z
2 adalah vektor posisi tutul B, serta titik C terletak

plong ruas garis AB sedemikian hingga
AC
:
CB

m
:
n
, maka vektor posisi titik C

yaitu

c

man

nbm

Apabila vektor posisi tutul C yakni
c

xc
,
yc
,
zc
, maka diperoleh sangkut-paut

xc
,
yc
,
zc

n x
1 ,
y
1 ,
z
1
m

mnx
2 ,
y
2 ,
z
2

xc
,
yc
,
zc

m
1 
n nx
1 
mx
2 ,
ny
1 
my
2 ,
nz
1 
mz
2

xc
,
yc
,
zc

nxm
1 
mxn
2 ,
nym
1 
myn
2 ,
nzm
1 
mzn
2

Dan dengan mengingat
i
  j ,0 0, ,1   ,0 1, 0, dan k  1 0, ,0 , maka mudah

dimengerti bahwa:

i 1 ,0dan      

     

i j j k k

i j j k i k

Sehingga dapat diturunkan bak berikut:
u

v

u
1 ,
u
2 ,
u
3. 
v
1 ,
v
2 ,
v
3 

u

v

vu
11 
vu
22 
vu
33 dan hasil kali dua vektor ini berupa skalar.

Selanjutnya seandainya dua vektor tukar remang lurus, maka hasil bisa jadi titiknya begitu juga nol; sebaliknya jika hasil kali titik berpokok dua vektor yang enggak vektor nol sebagaimana nol, maka dua vektor tersebut silih tegak literal. Hal ini boleh ditulis misal berikut:
u

v
 0 
u

v
maupun u 0 ataupun v 0

Acuan 1. Diketahui vektor-vektor
a
 b ,1 2,- 3,   ,5 3,- ,1 dan c  4- 1, 2, . Tunjukkan bahwa ketiga vektor ini dapat merupakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Jawab: Untuk menunjukkan bahwa ketiga vektor membentuk suatu segitiga, terserah dua pertimbangan, yaitu: (1) jumlah ketiga vektor sekelas dengan vektor nol; atau (2) salah satu vektornya sebanding dengan jumlah dua vektor lainnya. Menghafal bahwa
a

b

c. Maka ketiga vektor membentuk

segitiga. Selanjutnya ditunjukkan bahwasegitiga tersebut adalah segitiga pengkolan-kelukan. Karena
a

c
= 3 + (-2).1 + 1.(-4) = 0, maka
a

c
, sehingga

segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Cak bagi menentukan besarnya kacamata yang dibentuk oleh dua vektor
u

u
1 ,
u
2 ,
u
3  dan
v

v
1 ,
v
2 ,
v
3  yaitu:

vu
cos

 u
v

atau

12 22 32 12 22 32

cos u 112233
u u u v v v

v uv vu
   

   


adalah sudut yang dibentuk oleh
u
dan v

Acuan 1. Diketahui
u
  1- 3, 2, dan v  2 2, -1, .

Nyatakan
u
sebagai total suatu vektor yang sejajar
v
dan vektor

yang menggermang literal pada
v.

Jawab: Gambar 1 berikut ini memberikan ilustrasi dari ketentuan- ketentuan dalam soal dengan menjumut
a
//
v
dan b
v.

a
adalah proyeksi u padav , maka

v a

u

v

3
2 2, -1, 2
3

a
 1- 3, 2,  1  

v a v
3

 2 =  2 2, -1, 
9
2
9
, 4
9
, 4
9

a
  2

b

u

a
 - 1- 3, 2,  92 , 94 , 94

9
,- 13
9
, 23
9

b
 20

Untuk memeriksa kebenaran perhitungan ini, tunjukkan bahwa
a
tegak lurus
b
,

ialah
a

b
 0.

v

b

a

u

Rancangan 1.

a

b
=
a b
sin
u

a

b
= 0

Maka dapat disimpulkan bahwa dua vektor yang lain nol adalah setimpal jika dan namun jika hasil kali silangnya sama dengan nol. Hasil kali silang vektor-vektor bersifat distributif terhadap enumerasi vektor, yaitu:
a
(
b

c
)(
a

b
)(
a

c
)

(
a

b
)
c
)(
a

c
)(
b

c
) (buktikan seumpama latihan)

Selanjutnya akan diperoleh hasilkali silang untuk vektor-vektor satuan
i
,j , dan k,

dengan menerapkan definisi hasil bisa jadi silang di atas sebagai berikut.

i

j
=
ji
sin

2.
k

i

j
=
k

Dengan cara yang sama diperoleh,

k i j
j k i
 

 

i k j

k j i

j i k

 

 
 
0
0
0
 
 
 

k k

j j

i i

Masa ini akan dicari hasil barangkali silang dari
a
 1
ia

a
2
j

a
3
k
dan
b
 1
ib

b
2
j

b
3
k
a

b
= ( 1
ia

a
2
j

a
3
k
)( 1
ib

b
2
j
 3
kb
) = ( 1
ia

a
2
j

a
3
k
) 1
ib
( 1
ia

a
2
j

a
3
k
)
b
2
j
( 1
anda

a
2
j

a
3
k
)
b
3
k
= 0 
a
12
kb

a
13
jb

ba
21
k
 0  23
iba

ba
31
j

a
32
ib
 0 = (
ai b
32 
ba
23 ) (
baj
31 
ab
13 )
k
(
ba
21 
ab
12 )

a

b
= 1 2

1 2 1 3

1 3 2 3

2 3
b b ka a b b ja a b b ia a
 

a

b
= 1 2 3

1 2 3
b b b

a a a

i j k

Dengan menghafaz kembali pendirian menotal determinan dengan menunggangi kofaktor-kofaktor baris permulaan. Selanjutnya dengan memahfuzkan sifat determinan bahwa apabila dua derek suatu determinan ditukarkan maka determinan nan lainnya negatif dari skor determinan semula.

b  a =

1 2 3

1 2 3
a a a

b b b

i j k
= – 1 2 3

1 2 3
b b b

a a a

i j k
= -(
a

b
) (bukti sifat bertentangan komutatif)

Model 1. Diketahui
a
  ,1- 2,- ,1
b
 1 4, ,2 

Hitunglah
a

b
;
a

b

a
;
b
 a
b.

Jawab:
a

b
= 2 4 1

1 2 1
 

i j k
=
i
 42  11 –
j
 12  11 +
k
 12  42

= 2
i

j
 0
k
 2
i

j

a

b

a
= ( 2
i

j
)(
i
 2
j

k
) 0
b

a

b
( 2
i
 4
j

k
) 2(
i

j
) 0

,,
zyx

xo
,
yo
,
zo
 ,,
cbat
,,
zyx

xo

ta
,
yo

tb
,
zo

tc x

xo

ta
;
y

yo

tb
;
z

zo

tc

Seterusnya persamaan ini disebut paralelisme parametrik (kanonik) dari garis l. Apabila parameter kaki langit berpangkal persamaan parametrik ini dihilangkan, maka diperoleh

c

z z b

y y a

x

xo
 
o
 
o. Lebih jauh disebut persamaan simetrik garis l dengan

qada dan qadar arah a, b, c dan melalui titik (xo, yo, zo). Kemiripan parametrik tersebut terdiri mulai sejak dua persamaan yaitu

c

z z b dan y y b

y y a

x

xo
 
udara murni

o
 
o

Contoh Tentukan pertepatan simetrik dari garis potong bidang-bidang 2x – y – 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28.

Jawab Dari dua paralelisme rataan tersebut jika dihilangkan x, diperoleh y + 2z = 8. Jikalau

dihilangkan y, maka diperoleh x = 23 z – 3. Selanjutnya mulai sejak dua persamaan ini

dapat disusun paralelisme simetriknya, yaitu
y
 
z x
 
z
2

3
, 3
2
8

x
 
y
 28 
z atau
2

3
3
4 2
8
3

x
3
y

z

  .

Selanjutnya dapat dicari persamaan garis melampaui dua titik. Misalkan bintik A(x 1 , y 1 , z 1 ) dan B(x 2 , y 2 , z 2 ). Vektor-vektor posisi noktah-titik A dan B masing-masing adalah a = <x 1 , y 1 , z 1 > dan b = <x 2 , y 2 , z 2 ) dengan garis yang melangkaui A dan B. Dengan mengambil sebarang tutul R(x, y, z) pada garis tersebut yang vektor posisinya yakni r = <x, y, z>. Maka persamaan vektor garis AB adalah r = a + t(b – a) dengan t kadar betulan. <x, y, z> = <x 1 , y 1 , z 1 > + t<x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 > x = x 1 + t(x 2 – x 1 ), y = y 1 + horizon(y 2 – y 1 ), z = z 1 + t(z 2 – z 1 ). Lebih lanjut persamaan ini disebut paralelisme para metrik garis AB. Dengan menghilangkan parameter t dari persamaan parametrik tersebut akan diperoleh pertepatan simetrik dari garis AB seumpama berikut

2 1

1 2 1

1 2 1

1
z z

z z y y

y y x x

x x

 
 

Acuan Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(3, 2, 1) dan B(5, -1, -2)

Jawab Persamaan garis literal yang melalui A dan B yaitu

2 1

1
1 2
2
5 3
3
 
 
 
 

x

y z

3
1
3
2
2
3
 

x
 
y

z

Letak Garis Lurus Terhadap Permukaan datar
Cak semau tiga kemungkinan yang terjadi, letak satu garis terhadap suatu meja, yaitu garis menyelang parasan, garis setinggi permukaan, dan garis terletak sreg bidang.

Perhatikan sebuah garis l =
x

ax
1 
y

by
1 
z

cz
1

Dan sebuah bidang  = Ax + By + Cz + D = 0

Jawab Ambil dua tutul lega garis dengan cara menjatah harga t, misal n = 0 dan lengkung langit = 1 akan diperoleh tutul-titik (1, -1, 4) dan (3, 2, 5). Selanjutnya kemiripan bidang yang dicari adalah paralelisme latar yang melewati titik-titik (1, -1, 5), (1, -1, 4), dan (3, 2, 5) merupakan

0
3 2 5 1
1 1 4 1
1 1 5 1
1
 

x y z

3x – 2y – 5 = 0 Penyelesaian cara lain yaitu dengan menggunakan vektor arah garis, yaitu m = <2, 3, 1> dan sebuah tutul (1, -1, 4) pada garis, serta noktah (1, -1, 5) yang diketahui. Dua titik ini menentukan vektor u = <0, 0, 1>. Vektor normal latar yang dicari merupakan

m x u =
i j

i j k
3 2 0 0 1

2 3 1  

Maka persamaan satah yang dicari ialah 3(x – 1) – 2(y + 1) = 0 3x – 2y – 5 = 0

Letak dua garis harfiah dalam pangsa matra tiga. Dua biji pelir garis lurus dalam ruang mungkin akan bersilang, sejajar, berimpit, maupun bersilangan. Misalkan diketahui dua garis berikut ini

1

1 1

1 1

1
c

z z b

y y a

x

x
    dan 2

2 2

2 2

2
c

z z b

y y a

x

x
   

sudut antara dua garis tersebut seperti sudut yang dibentuk makanya vektor- vektor arahnya ialah m 1 = <a 1 , b 1 , c 1 > dan m 2 = <a 2 , b 2 , c 2 >. Sekiranya  adalah ki perspektif nan dibentuk oleh dua garis tersebut, maka

Cos  = 2 12 12 12 22 22 2

21 21 21
a b c a b c

aa bb cc
   

 

Dua garis akan sejajar apabila vektor-vektor arahnya sejajar, yaitu m 1 = tm 2 dengan n suatu garis hidup real. Sehingga bentuknya menjadi <a 1 , b 1 , c 1 > = t<a 2 , b 2 , c 2 >, ataupun

2

1 2

1 2

1
c

c b

b a

a
 .

Dua garis saling tegak harfiah apabila vektor-vektor arahnya saling kabur harfiah, yakni m 1 .m 2 = 0 <a 1 , b 1 , c 1 >. <a 2 , b 2 , c 2 > = 0 a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0 Dua garis akan bersilang apabila suka-suka perampungan kerjakan x, y, dan z dari empat persamaan bidang yang menyatakan dua persamaan garis tersebut.

Paradigma Tunjukkan bahwa garis-garis

6

2
1
1
1
2
2
4
3
2
4
1    
   

x

y z dan x y z

berpotongan, dan carilah paralelisme bidang yang memuat dua garis tersebut.

Jawab Dimisalkan bahwa:
x
 41 
y
 32 
z
 24 
kaki langit dan x
 12 
y
1  1 
z
 62 
k

Atau x = 1 – 4t y = 2 + 3t z = -2 + 6k X = 2 – k y = 1 + k z = -2 + 6k Maka diperoleh persamaan: 1 – 4t = 2 – k, 2 + 3t = 1 + k, dan 4 – 2t = -2 + 6k Dari k = 4t + 1, k = 3t + 1 diperoleh falak = 0 dan k = 1 yang menetapi persamaan 4 – 2t = -2 + 6k.

Source: https://www.studocu.com/id/document/universitas-negeri-semarang/calculus/geometri-analitik-ruang/20469498